green_fr (green_fr) wrote,
green_fr
green_fr

Categories:

Математика эпидемии

Очень хочется поспособствовать распространению вот этого видео (спасибо за ссылку, Максим!), да и всего блога «3 blue 1 brown»:



Мой краткий пересказ на русском, с небольшим уклоном в разжёвывание для тех, кто болел в школе на математике :-)

Все мы слышали выражение «экспоненциальный рост», «растёт по экспоненте», но что означают эти слова, и откуда берётся экспоненциальный рост? Возьмём для примера нынешнюю эпидемию. По определению экспоненциальный рост некоего показателя — это умножение его на какую-то константу каждую единицу времени. Например, когда каждый день что-то вдвое больше, чем было вчера. В случае коронавируса, количество заражённых умножается каждый день примерно на 1.15 (другими словами, каждый день у нас на 15% больше больных, чем было вчера).

Экспоненциальный рост можно объяснить простой моделью: новые случаи заражения появляются благодаря уже имеющимся случаям, т.е. чем больше больных сегодня, тем больше людей они смогут заразить завтра. Обозначим N(d) — количество заражённых в день d, E — среднее количество контактов у человека в день, p — вероятность передать заразу при контакте. В таком случае количество заражённых на следующий день будет N(d+1) = N(d) + N(d)*E*p = N(d) * (1 + E*p). Вот он наш множитель, вот он наш экспоненциальный рост.

При помощи нашей модели можно по-другому смотреть на данные заражения по странам. Если в одной стране в 100 раз больше заболевших, чем в другой, то это может означать не лучший уровень медицины во второй стране, а просто факт, что первая страна вступила в заразу на месяц раньше. Примерно за такой срок экспоненциальный рост с коэффициентом 1.15 даёт стократный рост.


Это, очевидно, упрощённая модель.

Например, мы не учитываем возможность вылечиться. Эту возможность легко моделировать, предположив, что некая доля q заболевших лечится через t дней. То есть, нужно вычесть из общего количества N(d) — q*N(d-t). Видно, что эта поправка ничего существенно не изменит — за время выздоровления масштаб эпидемии успел измениться.

Мы также не учитываем факт возможности для заражённого человека встретить другого, уже заражённого человека. В видео этот вариант рассматривается: вместо экспоненты получается сигмоида, которая неотличима от экспоненты в начале, а потом перестаёт быстро расти, достигая 100% заражения всего доступного населения. Я не буду подробно останавливаться на этой части.

Мы не учитываем тот факт, что люди встречаются не со случайными людьми из всего населения земли, а всё время с одними и теми же: соседями, коллегами и т.д. В видео рассматривают вариант с кластерами и показывают, что малого количества путешественников между кластерами достаточно для того, чтобы конечный результат практически не отличался от нашей экспоненты.


Как же всё это может остановиться? Только, когда уменьшатся E и p. Вариант уменьшения p после того, как мы заразили всё население, мы уже рассмотрели, лично меня он не интересует. Какие ещё есть варианты? И вот здесь становятся понятными разнообразные меры наших правительств. Нам нужно изменить наше с вами поведение.

Уменьшить N — встречаться с меньшим количеством людей в день. Макрон вчера чётко сказал: никаких семейных встреч, никаких дружеских пробежек. Ничего, без чего можно пережить. Французские врачи с ним согласны, они замутили флешмоб #restecheztoi — буквально «сиди дома».

Уменьшить p — никого не трогать, чаще мыть руки, чихать в локоть, не лезть пальцами в рот / нос / глаза.


Дальше уже не перевод видео, а лично мои соображения.

Насколько все эти меры действенны? Ну вот снизим мы N*p с 1.15 до 1.05 — и что?
Тут снова вступает простая математика, на уровне калькулятора. Но настолько контринтуитивная, что я предлагаю всем проверить расчёты. Иначе не так вставляет.

С множителем 1.15 за каких-то 100 дней (то есть к концу июня этого года) количество больных вырастает в 1 000 000 (один миллион) раз. С множителем 1.05 — в 100 (сто) раз.
100 — это очень много. А 1 000 000 — это просто невообразимо. Если у нас останется 1.15, то планы на следующий год можно не строить. Если будет 1.05, то можно молиться на врачей, учёных и просто удачу. Так что, сидите дома и мойте руки. И расскажите об этом своим родным.


Если же вам по каким-то причинам кажется, что всё это происки каких-то хитрецов, которые хотят нажиться на спаде рынка — храните этот секрет для себя. Покупайте акции, инвестируйте, раз уж вам кажется, что таким образом вы сможете присоединиться к этим загадочным хитрецам. Но не рассказывайте об этом никому. И вам же хуже (а ну как все бросятся одновременно с вами покупать подешевевшие активы!), и нам (люди не поверят в серьёзность ситуации и выйдут из дому).

Истории же про то, какие именно спецслужбы создали вирус, и почему они выпустили его именно сейчас и именно в Китае, лично мне кажется достаточно безобидными. Я заинтересуюсь этими вопросами, когда мы победим эту эпидемию. Например, в случае, если будет ясно, что она была человеческого производства, чтобы не допустить такого в будущем. Но об этом я подумаю потом.


Возвращаясь к вопросу, когда всё это закончится — это уже не математика, а биология, здесь я некомпетентен. Может повезти, как в 2002 году, когда эпидемия остановилась на нескольких тысячах. Может не повезти, как в 1918 году, когда испанка заразила 500 миллионов человек (больше четверти всего населения Земли).
Дай бог здоровья учёным, ну и немного удачи нам всем.

То, где математика вступает вновь — это интерпретация прошедших событий. Можно ли сказать, что в 2002 году мы все облажались, поверив в риск, которого на самом деле не было? Мне кажется, что правильнее говорить, что мы поверили в риск, который на самом деле не реализовался.

Простой пример: представим, на Землю летит огромный астероид, но учёные не могут сказать достоверно, пролетит он мимо или врежется. В итоге мы все готовимся к столкновению — а астероид пролетел мимо. Можно ли говорить, что готовившиеся к катастрофе облажались? Это примерно так же, как считать облажавшимся купившего страховку, если у него в итоге не сгорел дом, он не сломал ногу, у него не умер ребёнок.
Можно говорить, что готовиться не к чему, что риска (астероида или вируса) нет вообще, или что их риск намеренно раздут. Но нельзя говорить о ненужности подготовки, если существовавший риск просто не реализовался.

Ну и — Штирлиц знал, что из разговора лучше всего запоминается последняя фраза, — если на нас летит астероид, и учёные говорят, что, сидя дома и моя руки, мы существенно увеличим вероятность того, что он пролетит мимо...
Tags: #restecheztoi, covid, математика
Subscribe

  • Board Game Arena и Queimada

    На BGA обнаружился когда-то купленный у Эдит Saint-Petersbourg. Симпатичная игрушка, основная сложность в которой заключается в понимании момента,…

  • Игрушки у Филиппа

    Ещё несколько раз поиграли у Филиппа дома. Один раз реализовался мой ещё детский страх. Я когда-то пришёл на день рождения к другу за день…

  • Лувр, sweet Лувр

    В Лувре очень много залов оказалось закрытыми. В частности, практически весь первый этаж, по которому я так хотел пройти. В итоге за 3 часа…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 88 comments

  • Board Game Arena и Queimada

    На BGA обнаружился когда-то купленный у Эдит Saint-Petersbourg. Симпатичная игрушка, основная сложность в которой заключается в понимании момента,…

  • Игрушки у Филиппа

    Ещё несколько раз поиграли у Филиппа дома. Один раз реализовался мой ещё детский страх. Я когда-то пришёл на день рождения к другу за день…

  • Лувр, sweet Лувр

    В Лувре очень много залов оказалось закрытыми. В частности, практически весь первый этаж, по которому я так хотел пройти. В итоге за 3 часа…