green_fr (green_fr) wrote,
green_fr
green_fr

Categories:

Задачки из австрийского лагеря

Вернулись из Австрии. Про сам лагерь ещё напишу с картинками, а сейчас — несколько интересных задачек, озвученных не на занятиях.

1. Задача от Саши: на сфере случайным образом фиксируем 4 точки. Посчитать вероятность, что в пирамиду, определённую этими четырьмя точками, попадёт центр сферы.
Мы какое-то время спорили об определении случайного распределения точек, сошлись на равномерном по площади (то есть, вероятность попасть в некую зону прямо пропорциональна площади этой зоны). У нас есть строгое доказательство для круга (три точки, центр круга попадает внутрь треугольника с вероятностью 1/4 — интегрируем вероятность, получаем), а также менее строгое, но дающее тот же результат (считаем «средний сценарий» и говорим, что среднее значение совпадает со значением среднего сценария). Вот это менее строгое решение легко обобщается на сферу, и даже даёт правильный результат (мы его знаем, должно получиться 1/8), но лично мне он крайне не нравится — использование значения среднего сценария вместо среднего значения регулярно приводит к откровенной лаже (из актуального: при пенсионном возрасте в 65 лет и средней продолжительности жизни в 67 лет, россияне в среднем живут 2 года на пенсии — очевидно, что это не так).

Кстати: устно говорят «должна получиться 1/8», но на письме это выглядит ужасно, писать хочется «должно получиться 1/8». Русский язык — прелесть!

2. Задачка от Самуила: на столе лежат карточки с математическими знаками, формирующими строчку «101-102=1». Как переложить одну карточку, чтобы равенство стало верным? Именно одну. Поменять две карточки местами — это две карточки.
Эту задачку я решил, но какое-то время она у меня заняла.

3. Задачка от Тани: внутри треугольника ABC выбрана точка C’. Доказать, что периметр треугольника ABC больше периметра треугольника ABC’.
Формулировка настолько очевидная, что все бросались доказывать устно, затем брали бумажку, затем на какое-то время замолкали. У меня есть откровенно дурацкое «физическое» решение (натяжение резинки ABC будет больше, чем натяжение резинки ABC’) и куча идей для решения на несколько страниц. А хотелось бы красивого решения на школьном уровне.
Tags: лагеря, математика
Subscribe

  • Музеи 2019—2020

    Очень не хватает музеев, во Франции они до сих пор всё ещё закрыты. В какой-то момент задумался: насколько объективно снижение количества моих…

  • Лазерные указки

    Перечитывал на днях правила посещения Лувра :-) Вспомнил, как когда-то задумался — а почему никто не использует в музеях лазерные указки? Понятно,…

  • Centre Pompidou — мелочи

    Что приятно в Центре Помпиду — они регулярно меняют постоянную экспозицию, и какое-то время кажется, что каждый раз ты приходишь в совершенно новый,…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 49 comments

  • Музеи 2019—2020

    Очень не хватает музеев, во Франции они до сих пор всё ещё закрыты. В какой-то момент задумался: насколько объективно снижение количества моих…

  • Лазерные указки

    Перечитывал на днях правила посещения Лувра :-) Вспомнил, как когда-то задумался — а почему никто не использует в музеях лазерные указки? Понятно,…

  • Centre Pompidou — мелочи

    Что приятно в Центре Помпиду — они регулярно меняют постоянную экспозицию, и какое-то время кажется, что каждый раз ты приходишь в совершенно новый,…