green_fr (green_fr) wrote,
green_fr
green_fr

Chuck-a-luck

Читаю книжку про разработку игр (в последнем лагере дети придумали примитивную ролевую игру, мне захотелось предложить им что-то поинтереснее, начал читать литературу по теме), наткнулся на красивый парадокс. Практически оптическая иллюзия, только из мира вероятности. Когда ты уверен, что знаешь правильный ответ, ан нет, ошибся.

Итак, рассмотрим следующую игру: задумываем число от 1 до 6, бросаем три кубика, казино платит по доллару за каждый кубик, на котором выпало наше число. Если не выпало — мы платим 1 доллар. Сбалансирована ли игра?

Не будем про самый очевидный (и правильный) вариант ответа: раз казино предлагает эту игру, значит она не сбалансирована, причём перекос должен быть именно в сторону казино.

Есть неправильный расчёт «на пальцах»: у нас 3 кубика, у каждого вероятность выигрыша в 1/6, значит в среднем выходит 1/2 — игра сбалансирована. Кажется, что этот ответ неправильный, потому что мы забыли какие-нибудь сложные вероятности или ещё что-то.

Но нет, строгий подсчёт вероятностей даёт тот же результат:
  • у нас всего есть 216 вариантов выброса кубиков (предполагаем, что кубики упорядоченные, то есть комбинация 1-2-3 отличается от комбинации 1-3-2)
  • у нас есть 75 вариантов с одной единицей (для простоты положим, что мы изначально поставили на единицу — выбор цифры, очевидно, не меняет выкладок) = 3 кубика, где она может выпасть × 5 вариантов для второго кубика × 5 вариантов для третьего
  • у нас есть 15 вариантов с двумя единицами = 3 кубика, где не выпала единица × 5 вариантов для этого кубика
  • у нас есть один вариант с тремя единицами
  • итого средний выигрыш = 75 × 1 + 15 × 2 + 1 × 3 = 108, то есть как раз половина от 216
Но я уже дал правильный ответ — игра не сбалансирована. Где же ошибка?
Tags: statistiques, математика
Subscribe

  • Линьяно 2021

    Этим летом устроили себе «День сурка» второго порядка: после года, проведённого как один нескончаемый день, решили провести летний отпуск в точности…

  • La Seyne-sur-Mer

    На школьных каникулах решили сменить обстановку, съездить на юг Франции. Потому что за границу всё ещё сложно / невозможно, а там как минимум больше…

  • Forum des métiers

    У Натана в школе проводили что-то типа дней профориентации. В пошлом году делали в игровой форме — дети типа строят «город будущего», они выбрали…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 22 comments

  • Линьяно 2021

    Этим летом устроили себе «День сурка» второго порядка: после года, проведённого как один нескончаемый день, решили провести летний отпуск в точности…

  • La Seyne-sur-Mer

    На школьных каникулах решили сменить обстановку, съездить на юг Франции. Потому что за границу всё ещё сложно / невозможно, а там как минимум больше…

  • Forum des métiers

    У Натана в школе проводили что-то типа дней профориентации. В пошлом году делали в игровой форме — дети типа строят «город будущего», они выбрали…