green_fr (green_fr) wrote,
green_fr
green_fr

Category:

Pour la science № 472 — logique & calcul

В математической рубрике подобрали мелкие симпатичные задачки. Например, посчитать 200-ю цифру после запятой следующего числа

Казалось бы, полный бред, но потом замечаешь, что следующее число очевидно является целым:

А второе слагаемое очень маленькое. У него как минимум 300 первых нулей после запятой. То есть, у первого слагаемого эти же первые 300 цифр обязательно девятки. Всё. Совершенно ненужная вещь, но почему-то кажется красивым.


Ещё один фокус для детей про делимость на 9. Берём сколь угодно длинное число, у которого каждая цифра не меньше предыдущей (то есть, например, 11779), и две последние цифры не одинаковые (то есть, 1122 не подходит). Умножаем его на 9. Очевидно, что сумма цифр результата должна делиться на 9, но в данном случае она просто равняется 9. Каким бы длинным ни было изначальное число.

Доказывается тривиально, записав 9x = 10x — x. По построению первоначального числа выходит, что при вычитании в столбик у нас ни разу не требуется перенос из более высокого разряда. А значит и сумма выходит только 9, а не 18, 27 и т.д.


А это уже работает и для взрослых. Возьмём 4-значное число X. Практически произвольное, запрещены лишь числа, записываемые одной цифрой (например, 5555). Назовём Y — число, полученное из этих же цифр, записанных в возрастающем порядке, а Z — в убывающем. Посчитаем X1 = Z — Y. Повторим с ним ту же самую процедуру, и будем повторять до тех пор, пока не зациклимся. Барабанная дробь — па-пам! У вас получилось 6174.

Почему? Никто пока не понимает. Но да, все последовательности, образованные таким методом от различных 4-значных числе, сходятся к 6174. Трёхзначные ведут к 495. А пятизначные уже распадаются на несколько колец.


Игра. Вам предлагаются на выбор два конверта с деньгами. Вы можете выбрать один, посмотреть, сколько денег в нём лежит, а потом либо оставить его себе, либо поменять на второй, не глядя. Существует стратегия, позволяющая в больше 50% случаев уходить с конвертом, в котором лежит большая сумма.

Игра немного напоминает другой парадокс с конвертами (я про него писал здесь), когда в одном из них лежит сумма вдвое больше другой, но здесь немного другой парадокс. Как можно, не имея никакой информации, выигрывать в более 50% случаев?

Я не уверен, что стратегия реально работает (номер вроде не апрельский, но, мне кажется, здесь снова будет зависимость от того, как именно мы выбираем первоначальные суммы), но предположим, что в конвертах лежат суммы a и b, причём a < b. Выберем случайное число x в интервале от 0 до 1 (равномерное распределение). Посчитаем y = x / (1 — x). Если это число меньше того, что мы видим в конверте, то меняем конверт, если больше — оставляем.
Всё ещё звучит бредом. Но посчитаем, какие есть у нас варианты? Есть вариант, что y < a < b. В таком случае мы, выбрав случайный конверт, меняем его на второй случайный конверт. Вероятность уйти с b была и остаётся 50%. Аналогичная ситуация при a < b < y — мы выбрали случайный конверт и оставили его, вероятность уйти в правильным конвертом 50%. А вот если a < y < b, то мы либо меняем a на b, либо оставляем b, то есть в 100% случаев уходим с b. Очевидно, что какой бы ни были вероятности этих трёх случаев, средневзвешенное значение 50%, 50% и 100% не может быть меньше 50%. В случае a = 10 и b = 100 вроде как получается 54%.
В принципе, стратегию можно упростить до вполне понятного нормальному человеку загадывания «если сумма больше X, то оставляю, иначе — меняю». Далее рассуждения те же, просто сложнее выбрать случайную сумму без ограничения — в журнале навязали выбор функцией y = x / (1 — x), но её выбор в свою очередь ничем не обусловлен (разве только упрощением подсчёта вероятности для демонстрации).
Как так получается, я до сих пор не совсем понимаю.


Задачка «на собеседование» (ну или скорее «на поиздеваться над приятным человеком»). Метровая доска, по ней ползают жуки. С постоянной скоростью в 1 сантиметр в секунду. Встретившись, жуки разворачиваются и продолжают ползти с той же скоростью в противоположном направлении. Добравшись до конца доски, жуки с неё падают. Неизвестно ни первоначальное положение жуков, ни их количество. Можно лишь считать их точечными, а развороты мгновенными. Можно ли ограничить сверху время, через которое все жуки упадут?

Ответ до идиотизма прост. Предположим, что жуки не разворачиваются, а «проходят друг сквозь друга» — если мы не узнаём жуков в лицо, то эта ситуация ничем не отличается от первоначальной. Но ответ становится очевидным — через 100 секунд все жуки гарантированно доползут до конца доски и упадут.
Tags: pour la science
Subscribe

  • Демография Франции 2020 года

    Был вчера на работе, за обедом разговорились о рождаемости: у коллеги летом будет ребёнок, он ищет место в яслях, надеется, что спад рождаемости…

  • La Seyne-sur-Mer

    На школьных каникулах решили сменить обстановку, съездить на юг Франции. Потому что за границу всё ещё сложно / невозможно, а там как минимум больше…

  • Forum des métiers

    У Натана в школе проводили что-то типа дней профориентации. В пошлом году делали в игровой форме — дети типа строят «город будущего», они выбрали…

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 31 comments

  • Демография Франции 2020 года

    Был вчера на работе, за обедом разговорились о рождаемости: у коллеги летом будет ребёнок, он ищет место в яслях, надеется, что спад рождаемости…

  • La Seyne-sur-Mer

    На школьных каникулах решили сменить обстановку, съездить на юг Франции. Потому что за границу всё ещё сложно / невозможно, а там как минимум больше…

  • Forum des métiers

    У Натана в школе проводили что-то типа дней профориентации. В пошлом году делали в игровой форме — дети типа строят «город будущего», они выбрали…