green_fr (green_fr) wrote,
green_fr
green_fr

Category:

Pour la science № 464 — пи

Статья о разнообразных методах вычисления числа пи. В первой же фразе показывают эффективный метод, но на нём не задерживаются, чтобы с удовольствием перейти ко всякой экзотике. Эффективный метод, к слову, использует совершенно неправдоподобную, но верную формулу (я понимаю, что один её вид отпугнёт половину читающих, но не могу удержаться):



Другие методы ещё интереснее.

1. Метод Монте-Карло «в лоб» — бросаем камни в квадрат, смотрим на пропорцию камней, попавших во вписанный в этот квадрат круг. Физически очень сложно равномерно разбрасывать камни (автор приводит какой-то эксперимент с учётом плотности камней — чем больше у камня соседей, тем меньший ему придаётся вес в конечном расчёте, но мне это показалось выведением ответа из уже известного результата), а на компьютере — я помню, как в институте мы попытались повторить этот эксперимент, рисуя точки на экране, и как псевдослучайный генератор чисел очень скоро нарисовал красивое симметричное кружево и зациклился :-)
Но самый лучший эксперимент предложили математики из Монреаля — они стреляли по квадратной мишени из ружья. Более 30 000 выстрелов, одна правильная цифра после запятой. Это только мне кажется, что ребятам нужно было списать на что-то запас патронов?

2. Вариации на тему Монте-Карло — бросаем иглу длины L на сеть параллельных линий, между которыми расстояние L. Считаем количество игл, попавших между двух линий (а не пересекающих одну из линий). На практике даёт 2-3 цифры после запятой.

3. Это были статистические методы, сходящиейся к пи на бесконечности. А есть физический метод (автор Григорий Гальперин), точно дающий цифры десятичной записи пи.
Представим себе «одномерный бильярд», то есть шары могут кататься только по одной прямой. Точнее даже не прямой, а луча — с одной стороны ограничим прямую упругой стенкой. Ударим одним шаром в другой шар такой же массы (первое столкновение), подождём, когда второй шар долетит до стенки (второе столкновение) и вернётся к тому месту, где остановился первый шар (третье столкновение). Посчитали количество столкновений = 3, мы получили первую цифру записи числа пи.
Возьмём теперь первый шар в 100 раз тяжелее второго (по этому поводу нарисовали медитативное видео), посчитаем количество столкновений — их будет ровно 31 — мы получили две цифры числа пи. Ну и так далее.
Очевидно, практического применения нет никакого от слова «совсем». Но у меня просто в голове не укладывается, откуда там может вылезти пи?!
Доказательство тоже прекрасное — доказано, что с отношением масс в 102n вылезает ровно n цифр числа пи, если только последующие n цифр числа пи не являются все девятками. То есть да, теоретически где-то этот метод может дать сбой.

4. Метод гипотезы Сиракуз (я с удивлением узнал, что имеются в виду не греческие Сиракузы, а их американский тёзка, в котором находится хороший университет). Сначала о самой гипотезе — берём произвольное натуральное число n. Если оно чётное, то заменяем его на n/2. А если нечётное — то на 3n+1. Гипотеза в том, что для любого изначального числа мы рано или поздно придём к единице. Гипотеза так и не доказана, но и не опровергнута, и над ней в 1980-е годы работало столько математиков, что в какой-то момент серьёзно рассуждали, не является ли эта гипотеза тайным советским оружием, призванным отвлечь лучшие умы свободного мира от более насущных задач типа совершенствования ядерного оружия.
Отношение к расчёту пи достаточно косвенное — при помощи этой гипотезы, на самом деле, генерятся псевдослучайные числа, а есть теорема о том, что два случайно выбранных числа имеют общий делитель отличный от 1 с вероятностью в 6/π2.

5. Метод через множество Мандельброта — ещё один метод, дающий не схождение на бесконечности, а точное значение до какого-то знака. Но его даже описывать сложно. В двух словах, множество Мандельброта — это множество точек комплексной плоскости, раскрашенные в зависимости от скорости убегания этой точки, если к ней несколько раз применять некую функцию. И там есть определённые точки, которые вылетают за круг радиуса 2 ровно за столько итераций, какая цифра стоит в числе пи. Что самое страшное в этой истории — она доказана!

6. Ну и классика — игра «жизнь». Для неё давно уже доказали, что она теоретически может считать всё, что угодно. Так вот, есть конфигурация этой игры, которая считает пи и показывает его в десятичной записи на игровом поле. Маньяки среди нас.
Tags: pour la science, математика
Subscribe

  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 9 comments