September 2nd, 2021

2017

Pour la science № 526 — деликатные простые числа

Люблю, когда два разных источника одновременно рассказывают тебе об одном и том же. Например, потому что вышла какая-то интересная публикация, и двум популяризаторам захотелось о неё сразу же рассказать. В этот раз совпали Jean-Paul Delahaye из Pour le Science и Matt Parker из Stand-up Maths.

Сначала задаётся достаточно странный вопрос: существуют ли такие простые числа, при замене одной цифры которых (здесь и далее я говорю только о десятичной записи, хотя вопрос других баз там тоже разобрали) обязательно получается составное число? На этот вопрос ответить достаточно просто (да), можно даже найти такое число (самое маленькое — 294001) и проверить. Действительно, какую цифру мы бы не поменяли, простого числе не получается.

А потом мы делаем вопрос ещё более странным — давайте рассмотрим ведущие нули! То есть, число 5, например — это же то же самое число, что и 05, или 000005, до бесконечности. Существуют ли такие простые числа, у которых замена любой цифры приводит к составному числу, если под «любой цифрой» понимать и это бесконечное количество нулей впереди? И вот тут я перестаю пересказывать, читайте статью или (мой вариант) смотрите видео — это очень смешно.

Результат: такие числа существуют. Более того, их существует бесконечное количество. Более того, их пропорция среди простых чисел не стремится к нулю. Чего там, мы даже знаем алгоритм вычисления одного из них — он заложен в доказательстве. Но это доказательство настолько барочное (десятки страниц с таблицами использованных последовательностей), что мы не можем реализовать этот алгоритм. То есть — числа есть, их много, но мы не можем назвать ни одно из них.

Впрочем, в послесловии к журнальной статье автор пишет, что вроде как нашли первое такое число. «Вроде как» — потому что публикации пока ещё нет, но есть публичное заявление. О том, что число найдено, в нём 4030 цифр, первые цифры — 903663, последние — 399249. Заявление сделали исключительно для того, чтобы другие учёные не успели опубликовать первыми.
Я тут же вспомнил свою любимую историю об обнаружении Галилеем фаз Венеры: Галилей боялся, что Кеплер его обгонит, и послал ему анаграмму краткого описания своего открытия. Но там риск был реален — мне чуть сложнее представить конкуренцию в такой востребованной области знаний, как поиск деликатных (в широком смысле) простых чисел, widely digitally delicate primes...