May 6th, 2021

2017

П.В. Маковецкий «Смотри в корень!»

На днях наткнулся взглядом на старую книжку «Смотри в корень!» Маковецкого, взял с полки — и чуть ли не на едином дыхании снова её прочитал.

Непонятно, то ли у меня какие-то черты появились из-за этой книги, то ли наоборот, она мне понравилась, потому что эти черты во мне уже тогда зрели. Но какой же прекрасный зануда автор! Вот разбирает он задачку № 4: «Солнце на Северном полюсе взошло на московском меридиане. Где оно взойдёт следующий раз?» Понятно, что в следующий раз Солнце взойдёт там ровно через год. А за год, пишет автор, «Солнце успеет совершить вокруг Земли 365 оборотов с четвертью». И тут же сноска: «Здесь автор пользуется более удобной для этой задачи библейской точкой зрения на вопрос, что вокруг чего вращается. Иначе пришлось бы ввязываться в неуместные для данной задачи объяснения, что относительно „неподвижного“ звёздного фона Земля совершает за год на один оборот больше (разница вызвана тем, что кроме вращения вокруг собственной оси, Земля ещё движется и вокруг Солнца)». Оцените язык! А в особенности кавычки на слове «неподвижного» — то есть он не только воспользовался поводом рассказать, почему количество оборотов не совпадает, но ещё и закинул удочку про «неподвижность» звёздного фона. И ты уже такой сидишь и не можешь переключиться на другую тему: почему? Почему именно он не считает звёздный фон неподвижным?!

Задачка при этом сама по себе прекрасна. Потому что, пишет дальше автор, помимо тупого подсчёта времени и градусов меридианов, нужно задаться вопросом: а что такое момент восхода Солнца? На Северном полюсе Солнце восходит (с момента появления первого луча — до момента появления всего диска над горизонтом) более суток. Можно попытаться выбрать какой-то определённый момент этого процесса. Но тут автор с интонацией шелдоновского «fun fact» говорит: «любопытно, если температура воздуха при этом будет возрастать со скоростью более 6° в час, но за счёт изменения преломления лучей в воздухе видимый диск Солнца прекратит подъём и станет опускаться. Таким образом, весь акт восхода Солнца на полюсе может содержать одну-две „неудачные попытки“!».


Ещё одна задачка (№ 3) примерно на ту же тему: «Сегодня день равен ночи. Чему равна их общая продолжительность?»

Логика тоже простая, но результат парадоксальный. Зафиксируем каким-то образом моменты перехода из состояния «ночь» в состояние «день» и наоборот, например, начало восхода Солнца и начало захода. Судя по условиям задачи, сейчас то ли весеннее, то ли осеннее равноденствие. Предположим, весеннее. Значит, завтра Солнце взойдёт раньше, чем сегодня. Таким образом, продолжительность дня + ночи (это по определению время между двумя восходами Солнца) будет меньше 24 часов. Само по себе это не удивительно. Удивительно, если мы посчитаем теперь продолжительность ночи + дня, а это по определению время между двумя закатами Солнца. Поскольку Солнце заходит всё позже и позже, общая продолжительность будет больше 24 часов.

Срочно в газету: От перемены мест слагаемых поменялась сумма! :-)


Задача № 11 — красивый пример смены измерения, примерно как классическая подмена среднего по времени средним по сценариям. Задачка звучит так: Витебск и Ленинград — на одном меридиане, Пулковском, поэтому самый тёмный момент ночи в этих городах наступает одновременно — будем для простоты читать, что ровно в час ночи по московскому времени. А когда он наступит для пассажира, едущего июньской ночью из Витебска в Ленинград? Будем считать, что вся дорога идёт строго по Пулковскому меридиану.

И тут красота в том, что на каждой из станций этого дороги самое тёмное время — это час ночи. Но для едущего по железной дороге пассажира есть ещё эффект продвижения на север или на юг, а самоё тёмное время в июньском Ленинграде явно светлее самого тёмного времени в Витебске. Сами выкладки лично мне уже не так интересны, сколько осознания этого факта — мы накладываем два перпендикулярных движения, каждое из которых очевидным образом меняет освещённость, и за счёт этого очевидный ответ «в час ночи» становится неправильным.


Просто красивое замечание в комментарии к задаче № 13. Там разбирают кривизну Земли и Луны, и автор замечает, что малый размер Луны явно создаст проблемы со связью космонавтов. До горизонта там чуть больше 2 километров, коротковолновое радио работает только в пределах прямой видимости, а длинноволновое радио работает на Земле дальше только из-за отражений ионосферы. Таким образом, космонавтам придётся держать связь через ретрансляторы, например через Землю.


Запомнившаяся мне с детства задачка № 36 про вот эту марку:



В глаза не бросается, но название картины замазано «надпечаткой». На самом деле это картина Алексея Леонова «Селенодезисты (На Луне)», но марку решили подписать «На Луне. Восходит Земля». Потом спохватились: ты либо на той стороне, которая повёрнута к Земле, и тогда Земля всегда над тобой; либо ты на обратной стороне, и тогда Земли не видно никогда. Какой тут может быть восход?! Признали ошибкой, успели замазать до выпуска марки. Маковецкий, впрочем, задаётся вопросом: а точно здесь ошибка? Ведь Луна не точно повёрнута одной стороной, она немного покачивается. Таким образом, с Земли видно не 50% её поверхности, а все 60%. А значит, есть места, где Земля восходит и заходит.

Я проверил — Википедия знает и про марку, и про ошибку в названии, и про ошибку в ошибке.


Ещё одна задача (№ 44), которую я помнил с детства, но не помнил, что она из этой книжки. Рассмотрим поезд, между вагонами есть небольшой зазор. К первому вагону подъезжает локомотив, сцепляется с ним — и вагоны начинают по цепочке передавать друг другу его толчок. Можно посчитать, с какой скоростью распространяется этот грохот вдоль состава, в зависимости от скорости локомотива, длины каждого вагона и расстояния между ними. Затем автор подбирает такие значения этих параметров, что грохот побежит со скоростью выше скорости света. И спрашивает: это вообще нормально?

Понятно, что ненормально — абстрактные точки вполне могут перемещаться с любой скоростью, но здесь откровенно идёт передача энергии, а она явно ограничена скоростью света. В принципе, и ловушка понятна: мы подразумеваем, что вагоны абсолютно твёрдые, то есть движение одного края вагона немедленно передаётся на другой край — собственно, в этом и весь парадокс, остальные вагоны здесь так, для красоты. Ну и понятно, что движение вагона передаётся через его деформацию, а её скорость никак не может быть выше скорости звука в среде. Тем более, она ниже скорости света.

Я помню, как на этой задаче прямо почувствовал разницу между физическим миром и математической моделью.


В разборе задачи № 67 вскользь так употребляет незнакомое мне слово: типа, это то же самое, что «нониус», только для времени. И в этот момент понимаешь, насколько интернет вообще и Википедия в частности изменили мир. Представляешь себе школьника 30 лет назад: наткнулся на незнакомое слово, в лучшем случае проверил его в словаре — даже если дома есть все словари, узнал только, как оно пишется, и где у него ударение. А у кого дома была энциклопедия, в которой рассказали бы, что это на самом деле?

Забавно, что название «нониус» — в честь португальского математика XVI века Нуниша. В оригинале его звали Pedro Nunes, но латинская версия имени — Petrus Nonius.


Возвращаясь к теме, как всё изменилось — моя книга 1991 года, но это шестое издание, и основной корпус написан явно до того, как автор познакомился с понятие компьютера. Поэтому все примеры — тёплые ламповые. Так, разобрав задачу № 52, автор начинает травить байки про радиолокацию. Посылаем сигнал, он отразился от вероятного противника и вернулся. Зная скорость и время возвращения сигнала, можем посчитать расстояние до цели. А если сигнал вернулся с шумом? Как понять, что настоящее, что ложное? Понятно, что сейчас эта задачка решается какой-нибудь хитрой модуляцией сигнала, чтобы его отражения нельзя было спутать со случайным шумом. Функция autocorr в MatLab чётко покажет нам, какой фрагмент полученного сигнала соответствует посланному. А автор рассказывает об аналоговой схеме поиска автокорреляции: несколько копий магнитной ленты с задержкой, сумматоры с накопителями. Кайф! Хоть лично я и предпочитаю цифровую версию, конечно же :-)


Задача № 69 — надо обязательно попытаться сделать её! Впрочем, читая книгу 30 лет назад, я наверняка то же самое подумал. Итак, задача: можно ли звезду закрыть спичкой, которую вы держите в вытянутой руке? Вы смотрите одним глазом, второй закрыт.

Утверждается, что не получается закрыть. Звезда, конечно, остаётся точечной, но зрачок нашего глаза настолько расширяется, что спички на вытянутой руке уже не хватает.

Примерно на эту же тему задача № 75: есть столб высотой в 5 метров и шириной 10 сантиметров, Солнце находится на высоте 10° над горизонтом, какова длина тени от столба?

Внимательный читатель задумывается: а нафига нам дали ширину столба? А именно потому, что Солнце — не точка. И если под «тенью» считать «полную тень», то она обрывается достаточно быстро — вместо почти 30 метров выходит чуть больше 10. В условии автор успевает ещё поглумиться над наивным читателем: как изменится длина тени, если высоту столба увеличить вдвое? Ответ: никак не изменится.

Тоже, интересно было бы самому это увидеть. С лампой и зубочистками достаточно тривиально, а вот настоящие столбы поднимать — это уже для Гамельна.
2017

Stand-up Maths или Dobble наносит ответный удар

Stand-up Maths (приятный канал: и смешно, и про математику) поднял недавно тему Dobble. Не так красиво, как рассказывал Лёша, но логика примерно такая же: как устроена эта игра, как самому сделать набор карточек? Поскольку это не только Math, но и Stand-Up, автор начинает с двух заведомо правильных, но совершенно бессмысленных вариантов:
1. На всех карточках есть одна общая картинка, все остальные картинки уникальные. Предлагает назвать этот тип игр не «найди общее», а «найди домик».
2. Каждая картинка есть в наборе в двух экземплярах на разных карточках, и на каждой карточке есть столько картинок, сколько в колоде карточек минус одна. Очевидно работающий вариант, но столь же очевидно непрактичный.

Первая половина видео — примерно то же самое, что было у нас в лагере, только быстренько, не останавливаясь на интересных местах. Геометрия (самая красота!) подана, но скомкано. Вопрос о недостающих карточках поднят, но тоже без ответа. Детский вариант Dobble тоже упомянут.

Из нового: Лёша тоже рассказывал, но я не записал, а тут почему-то проникся. Существует вопрос: какого уровня Dobble можно сделать? Под «уровнем» я понимаю количество картинок на карточке минус один, то есть первый пример из моего старого поста — это второй уровень игры, и он даёт нам колоду из 7 карточек с 3 картинками на каждой. Стандартная колода Dobble — это 7 уровень: 57 карточек с 8 картинками. Лёша нам наглядно показал, что нельзя сделать колоду 6 уровня. Matt озвучивает общее правило (насколько я понял, недоказанная гипотеза): уровень должен быть степенью простого числа.


А во второй половине Matt рассказывает о совершенно другом подходе к решению задачи. Попытаемся найти такой набор целых чисел, попарные разницы между которыми представляют собой последовательность натуральных чисел. Например, 0-1-3 — разности будут 1-2-3. Представим себе круг из 7 карточек (забудем на минуточку, откуда мы взяли волшебное число 7). Поместим картинку № 1 на карточки 0-1-3. Сдвинем все карточки по кругу. Поместим картинку № 2 на новые карточки 0-1-3. Легко видеть, что после 7 поворотов мы получим нашу колоду 2 уровня из 7 карточек с 3 картинками на каждой. Даже понятно, как это получается: представим себе два круга с 7 точками. У первого круга точки 0-1-3 раскрашены в синий цвет, у второго — в красный. Если синий круг повернуть относительно красного на какое-то количество точек (отличное от 0), то ровно одна синяя точка совпадёт с красной. Именно потому, что если бы совпадали две пары точек, это означало бы наличие двух пар точек в изначальном наборе, разность между которыми была бы одинаковой.

То есть, вопрос построения колоды Dobble сводится к вопросу нахождения набора чисел, попарные разности которых будут давать все целые числе до какого-то. Не сказать, чтобы эта задача была существенно проще первоначальной, но у неё есть преимущество — ею люди занялись задолго до того, как придумали Dobble. Matt цитирует журнал 1906 года с условием задачи, а потому другой, 1907 года, с решением для того, что мы назвали колодами 2, 3, 4, 5 и 7 уровней — колода 6 уровня невозможна. Для стандартной колоды Dobble набор чисел совершенно нетривиален: 0-1-3-13-32-36-43-52.


В конце Matt показывает свою колоду 101 уровня. Понятно, что там получается огромное количество карточек (10303), поэтому он решил распечатать только часть из них — как мы знаем по стандартной колоде Dobble, играть можно и не полной колодой, никто разницы не заметит. Проблему он осознал только когда получил распечатанные карточки. Очевидно, что для создания колоды, он расположил карточки квадратом 101×101, плюс 102 карточки «в бесконечности». Для печати он тупо выбрал первые 101 карточек, не задумавшись о том, что по построению у них будет одна и та же общая картинка. То есть да, он таки случайно сделал ту самую игру «найди домик», над которой ржал в начале выпуска. Искренне надеюсь, что он выдумал эту историю, чтобы его видео было интереснее смотреть. Но боюсь (по собственному опыту знаю), что таки нет. Тяжело быть идиотом :-)